בית · פורומים · הרשם · התחברות · פתח ונהל פורום · כניסה למנהלים החלף לסקין בצבע לבן החלף לסקין הישן של הייד פארק החלף לסקין בצבע כתום החלף לסקין בצבע חום החלף לסקין בצבע צהוב החלף לסקין בצבע כחול החלף לסקין בצבע ירוק
בית · פורומים · מדע וטכנולוגיה · מתמטיקה בהנאה · הוכחה באינדוקציה
שלום אורח. באפשרותך להתחבר או להירשם
הצג 15 הודעות בעמוד הוסף לדף האישי  דווח למנהל שלח לחבר
נשלח ב-4/6/2009 18:31 לינק ישיר 
הוכחה באינדוקציה


ניסיתי להשלים את ההוכחה החסרה הבאה בספר, דא עקא שאני לא בטוח במה שעשיתי. פעם ראשונה כמדומני שאני נתקל באינדוקציה שאין בה צורך בהנחת האינדוקציה, לכן אני תוהה אולי אני טועה ויש בעיה בהוכחה שלי. מישהו מוכן לעבור על זה ולתקן אותי אם צריך ?

תודה

_________________



מחובר
נשלח ב-4/6/2009 19:06 לינק ישיר 

נסה לחלק את הסכום של n איברים לסכום של n-1 האיברים הראשונים והאיבר ה-n.
אז תפעיל את הנחת האינדוקציה על הסכום הראשון, ובעזרת האסוציאטיביות של החיבור תוכל להמשיך כמו במקרה של שני מחוברים.
אולי אפילו תגדיר את מקרה הבסיס כ-n=1, שהוא טריוויאלי, ואז הלוגיקה של ההוכחה שבספר עבור n=2 עוברת למקרה הכללי, של חיבור שני מחוברים כאמור.


מחובר
נשלח ב-4/6/2009 19:15 לינק ישיר 


שלום יובל, תודה שענית

לא הבנתי מהתגובה שלך האם ההוכחה שלי אינה נכונה או שמא רק נתת דרך נוספת להוכיח.
ייתכן שיש כאן נקודה במהות ההוכחה באינדוקציה שלא הבנתי. האם יש הכרח מהותי להראות שנכונות הטענה עבור n+1
נובעת מנכונות הטענה עבור n. או שמא אפשרי כמו שעשיתי להראות את נכונות הטענה עבור n ועבור n+1 בנפרד בלי שהשני נובע מהנחת הראשון ?


מחובר
נשלח ב-4/6/2009 19:39 לינק ישיר 

באופן פורמאלי בהוכחה באינדוקציה אתה צריך להוכיח את הנכונות עבור 1, ולהוכיח שלכל n, נכונות עבור n גוררת נכונות עבור n+1.
(שים לב שדרך זו לגיטימית רק בזכות אקסיומה שקיבלנו על עצמנו.)
אפשר אפוא לטעון שאם הוכחת את הטענה על n+1 מבלי להסתמך במפורש על נכונות הטענה על n, הרי זו הוכחה לגיטימית באינדוקציה (הראית טענה חזקה יותר ממה שנדרשת).


מחובר
נשלח ב-4/6/2009 20:59 לינק ישיר 

אני רואה שזה חומר בתורת המספרים   -    אודה
למבקש_ לדעת
על שם הסופר והספר, באנגלית כמובן ...

**************************************************

עולה בדעתי כי הדברים הבאים עשויים לשפוך קצת אור על הענין  -
יתכן  שלא כל כך   נחוצה   כאן הוכחה באינדוקציה, 
לא ממש,
והספר   לא  כל  כך   צריך היה לומר מה שאמר  ...
לכן אני שואל לשמות, מתוך  סקרנות   -   כדי שאם וכאשר   יזדמן   לי,  אראה איך החומר מוצג בו  ... 

****************************************

אני רוצה להגיד דברים כלליים
למבקש_לדעת,
כרקע   -
הרי התכונות של פעולות החשבון  ( נראה שעוסקים כאן בשלמים )  -   הן עבור
שני  איברים,
חיבור, כפל, פילוג (זו פתיחת הסוגריים) ...
אין  
לנו פעולות כגון אלו עם   יותר   משני איברים (וללא סוגריים בקומבינציות למיניהן בין האיברים   -   אסוציאטיביות) ,
אלא
כאשר נגדיר אותן ונוכיח דברים נחוצים   -   ובענינים  האלה,
 כדי לבנות את המבנים האלגבריים   -   אכן  נחוצה  גם  נחוצה  האינדוקציה  ...

מדובר לאו דוקא בשלמים  ...
,
כשבונים שדות, שדה הרציונליים, שדה הממשיים, מרוכבים אח"כ    -   
מה זה למשל לקחת  17  מספרים ולכפול אותם זה בזה, מה המשמעות של להגיד
"נסתכל על המכפלה      A1 * A2 * A3 * ... * A17  " ?
הרי אנחנו יודעים רק לכפול שני מספרים, כך מתחילים את הסיפור של פעולת הכפל
(בכיתה ב' או ג' של בי"ס יסודי  או מתי שמתחילים ...)  ...
ובכן,
כשמגדירים ובונים את  המבנים האלגבריים האלו, בלימודים גבוהים,
נחוצות בעצם הוכחות כאלו באינדוקציה   -   אמנם בהחלט יתכן שלא מבצעים אותן בלימודים,
או לא לגמרי מבצעים, כי לא רוצים לטרוח ... 
 



מחובר
נשלח ב-4/6/2009 21:03 לינק ישיר 

ההוכחה שלך נכונה (חוץ מטעות במסקנה בשורה האחרונה), אבל היא לא באינדוקציה לדעתי.
איפשר להוכיח את הטענה באינדוקציה גם, אבל במקרה זה ההוכחה שנתת היא פשוטה יותר.



סמל אישי
מנותק
נשלח ב-4/6/2009 21:14 לינק ישיר 

רק רציתי לומר   -  
זכרון הוא דבר נפלא ...

הנה,
כאשר כותבים על המסך האשכול אינו לפני העיניים,
והפכתי את הכינוי שלך
ממחפש  לדעת
למבקש  לדעת ...
(כמובן אותה משמעות)



מחובר
נשלח ב-4/6/2009 21:48 לינק ישיר 


ויזיטור

שם הספר הוא  ELEMENTARY NUMBER THEORY של David M. Burton 

(הספר תורגם לעברית בהוצאת האוניברסיטה הפתוחה)


מורושקו

היכן בדיוק טעיתי לדעתך בשורה האחרונה ?

 

_________________



מחובר
נשלח ב-4/6/2009 21:55 לינק ישיר 

צריך להיות:
מאחר ש-a!=0 ו-(..) שלם נובע ש- zzz   a | (b1x1+...+bnxn)   zzz
ולא a|bk (זה נתון)



סמל אישי
מנותק
נשלח ב-4/6/2009 22:22 לינק ישיר 

מהסיבה שוויזיטור פירט (הבינריות של פעולת החיבור) הנחתי שהספר כיוון להוכחה באינדוקציה בדרך שהצעתי.
הרי חיבור של n מחוברים מוגדר ברקורסיה כחיבור של המחובר האחרון לסכום של כל הקודמים.
מכאן עולָה הדרך הטבעית לכתוב הוכחה באינדוקציה של טענה המתייחסת לסכום של n איברים.


מחובר
נשלח ב-4/6/2009 22:34 לינק ישיר 



מורושקו

צודק. מיהרתי לכתוב ולשלוח...

יובל

הבנתי למה התכוונת. תודה

_________________



מחובר
   
בית > פורומים > מדע וטכנולוגיה > מתמטיקה בהנאה > הוכחה באינדוקציה
מנהל לחץ כאן לנעילת האשכול
הוסף לעמוד האישי  דווח למנהל שלח לחבר